27 Ekim 2014 Pazartesi

Topoloji - I

Topoloji basitçe; şekillerin bükülerek, esnetilerek veya gerilerek deforme edildiğinde değişmeden kalan özellikleri inceler. Yüzeyleri sadece Öklid’in bir, iki veya üç boyutlu evreninde değil, göz önüne getirilmesi imkansız çok boyutlu uzaylar içinde hayal ederler.

Topoloji girişi hep aynı örnek ile başlar; Klein şişesi ve Mobius şeridi. Klein şişesi veya Mobius şeridi ile ilgili bir yazı okuduğunuzda şu bilgiye sıkça rastlanır: “Bir Klein şişesi, kesildiğinde iki adet Mobius şeridine dönüşür”. Buna ek olarak, Klein Şişesi yine kesilerek tek bir Mobius şeridine de dönüştürülebilir.

Bir şey anlamadı iseniz buyurun bir video:


Klein şişesinin tanımı: açıklık bulunmayan kapalı cisimlerin bir döngülü feynman diyagramının geometrisini temsil eder. İmkânsız şekillerden biridir. İçi ya da dışı yoktur, hacmi sıfırdır, 3 boyutlu bir şekli bulunamaz, birbiri içinden kesişmeden geçtiği için, ifadesinde 4. boyut gerekmektedir. 1 çember şeklinde tekillik içeren 3 boyutlu modelleri yapılabilmektedir. İki adet mobius şeridinin birleşimi ile de elde edilebilir.

Mobiüs şeridi nedir?
Mobiüs Şeridi; bir tek yüzü ve bir tek kenarı bulunan yüzeydir. Dikdörtgen şeklindeki bir kâğıt şeridin bir kısa kenarını bir tam devir yaptırıp, diğer kenarıyla birleştirilince tek yüzlü Mobiüs Şeridi elde edilir.


Böyle bir yüzey modeli, bir ABCD köşeleri olan kâğıdı alıp bunu 180 derece kıvırıp C noktasını A ile D noktasını B ile üst üste getirerek elde edilebilir. Bu yüzeyin üzerinde kalan ve kenarı kesmeyen bir eğri ile birleştirilebilir. Mobiüs Şeridi; kenarı düğüm yapmayan ve sürekli biçim değiştirerek çember haline gelebilen bir eğridir.

İlk köşelerini bir araya getirmeden n yarım devir burarak bir genelleştirme yapılabilir. Böylece n. basamaktan bir mobiüs şeridi elde edilir.

n tekse yüzeyin ancak bir yüzü ve bir kenarı olur. n>1 için düğüm yapar.
n çiftse n>2 için birbirine geçen iki yüzü ve iki kenarı vardır. Bu şeridin orta çizgiden kesme halinde şunlar elde edilir;

n çiftse; eski şeridin kenarları biçiminde düğüm yapan ve her biri ona benzeyen birbirine geçmiş 2 yeni şerit.
n tekse; n>= 3 için eskisinin kenarı biçiminde düğüm yapan ve basamağı 2n+2 olan tek bir şerit.

Klein şişesi nedir?
Ünlü Matematikçi KLEİN tarafından keşfedilmiştir. Klein Şişesi dışı olan, fakat içi olmayan bir şişedir. Kendisinin içinden geçer. İçine su konulmaya çalışılırsa, dökülen su aynı delikten dışarı çıkar. Klein Şişesi bir sürahi olarak kullanılamaz.


Klein Şişesi ile Mobiüs Şeridi Arasındaki Bağıntı
Bir (tek) yüzlü cisimlerden Mobiüs Şeridi'nin iki kere kesilmesiyle ilginç bir şekil oluşur. Klein Şişesi, boylamasına ikiye kesilirse; iki adet Mobiüs Şerdi elde edilir.

"Yeterli matematik çalışıncaya ve sayısız olası istisnaları görüp kafası karışıncaya kadar herkes bir eğrinin ne olduğunu bilir."

~ Felix Klein

Ayrıca: https://www.facebook.com/IkiDakikadaBilim gündelik hayatta matematik bölümüne bakınız.